函数的有界性

函数的有界性 定义数学定义

定义是数学中精确描述概念、术语含义的陈述。理解定义是学习数学的基础，每个数学概念都有其严格的定义。

函数的有界性有界函数（Bounded Function）：若存在常数 MMM，使得对任意 x∈Dx \in Dx∈D，总有 ∣f(x)∣≤M|f(x)| \leq M∣f(x)∣≤M，则称函数 f(x)f(x)f(x) 在 DDD 上有界。

分类有上界：若存在常数 M，使得对任意 x∈Dx \in Dx∈D，总有 f(x)≤Mf(x) \leq Mf(x)≤M有下界：若存在常数 m，使得对任意 x∈Dx \in Dx∈D，总有 f(x)≥mf(x) \geq mf(x)≥m有界：既有上界又有下界 几何意义有界函数的图像被限制在两条水平线之间，即存在水平带，使得函数图像完全位于这个带内。

例子f(x)=sin⁡xf(x) = \sin xf(x)=sinx 在 R\mathbb{R}R 上有界，因为 ∣sin⁡x∣≤1|\sin x| \leq 1∣sinx∣≤1f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2 在 R\mathbb{R}R 上有下界（0），但无上界f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}f(x)=x1​ 在 (0,1](0, 1](0,1] 上无界R\mathbb{R}R（双线体 R）：这是数学中的标准符号，表示实数集（Real numbers），即所有实数的集合。双线体（blackboard bold）是数学中专门用来表示数集的字体风格。

判断方法直接法：通过观察函数表达式，判断其值域范围求导法：对于连续函数，可以通过求导找到极值点不等式法：利用已知的不等式关系进行判断其中，求导法你可能不知道，没关系，在学微积分时会学到。

重要性质有界函数的运算性质数学定理

定理是数学中经过严格证明的命题，是数学推理的基础。定理通常包含条件和结论，是数学知识体系的重要组成部分。

有界函数的运算性质有界函数与有界函数的和、差、积仍为有界函数有界函数与有界函数的和、差、积仍为有界函数有界函数与有界函数的和、差、积仍为有界函数 证明设 f(x)f(x)f(x) 和 g(x)g(x)g(x) 都是有界函数，存在常数 M1,M2M_1, M_2M1​,M2​ 使得 ∣f(x)∣≤M1|f(x)| \leq M_1∣f(x)∣≤M1​，∣g(x)∣≤M2|g(x)| \leq M_2∣g(x)∣≤M2​。

和的性质：∣f(x)+g(x)∣≤∣f(x)∣+∣g(x)∣≤M1+M2|f(x) + g(x)| \leq |f(x)| + |g(x)| \leq M_1 + M_2∣f(x)+g(x)∣≤∣f(x)∣+∣g(x)∣≤M1​+M2​差的性质：∣f(x)−g(x)∣≤∣f(x)∣+∣g(x)∣≤M1+M2|f(x) - g(x)| \leq |f(x)| + |g(x)| \leq M_1 + M_2∣f(x)−g(x)∣≤∣f(x)∣+∣g(x)∣≤M1​+M2​积的性质：∣f(x)⋅g(x)∣≤M1⋅M2|f(x) \cdot g(x)| \leq M_1 \cdot M_2∣f(x)⋅g(x)∣≤M1​⋅M2​因此，和、差、积运算都保持函数的有界性。

有界函数与常数的运算性质数学定理

定理是数学中经过严格证明的命题，是数学推理的基础。定理通常包含条件和结论，是数学知识体系的重要组成部分。

有界函数与常数的运算性质有界函数与常数的积仍为有界函数有界函数与常数的积仍为有界函数有界函数与常数的积仍为有界函数 证明设 f(x)f(x)f(x) 是有界函数，存在常数 MMM 使得 ∣f(x)∣≤M|f(x)| \leq M∣f(x)∣≤M，kkk 为任意常数。

性质证明：∣k⋅f(x)∣=∣k∣⋅∣f(x)∣≤∣k∣⋅M|k \cdot f(x)| = |k| \cdot |f(x)| \leq |k| \cdot M∣k⋅f(x)∣=∣k∣⋅∣f(x)∣≤∣k∣⋅M因此，有界函数与常数的积仍为有界函数，新界为 ∣k∣⋅M|k| \cdot M∣k∣⋅M。

有界性定理数学定理

定理是数学中经过严格证明的命题，是数学推理的基础。定理通常包含条件和结论，是数学知识体系的重要组成部分。

有界性定理连续函数在闭区间上必有界连续函数在闭区间上必有界连续函数在闭区间上必有界若函数 f(x)f(x)f(x) 在闭区间 [a,b][a, b][a,b] 上连续，则 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a, b][a,b] 上有界，即存在常数 M>0M > 0M>0，使得对一切 x∈[a,b]x \in [a, b]x∈[a,b]，都有 ∣f(x)∣≤M|f(x)| \leq M∣f(x)∣≤M。

证明证明：使用反证法。

假设函数 f(x)f(x)f(x) 在闭区间 [a,b][a, b][a,b] 上连续，但在 [a,b][a, b][a,b] 上无界。

那么，对于任意大的正数 MMM，都存在 xM∈[a,b]x_M \in [a, b]xM​∈[a,b]，使得 ∣f(xM)∣>M|f(x_M)| > M∣f(xM​)∣>M。

取 M=1,2,3,…M = 1, 2, 3, \dotsM=1,2,3,…，得到序列 {xn}\{x_n\}{xn​}，其中 xn∈[a,b]x_n \in [a, b]xn​∈[a,b] 且 ∣f(xn)∣>n|f(x_n)| > n∣f(xn​)∣>n。

由于 [a,b][a, b][a,b] 是有界闭区间，序列 {xn}\{x_n\}{xn​} 有收敛子序列。不妨设 {xnk}\{x_{n_k}\}{xnk​​} 收敛于 x0∈[a,b]x_0 \in [a, b]x0​∈[a,b]。

因为 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_0x0​ 处连续，所以 lim⁡k→∞f(xnk)=f(x0)\lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = f(x_0)limk→∞​f(xnk​​)=f(x0​)。

但另一方面，∣f(xnk)∣>nk→+∞|f(x_{n_k})| > n_k \to +\infty∣f(xnk​​)∣>nk​→+∞，这与极限存在矛盾。

因此，原假设不成立，即 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a, b][a,b] 上有界。

另一种证明方法（使用最值定理）：

连续函数在闭区间上必有最大值和最小值，因此函数值有上界和下界，即函数有界。

练习题练习 1判断函数 f(x)=xx2+1f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}f(x)=x2+1x​ 在 R\mathbb{R}R 上的有界性。

参考答案 (3 个标签)有界性 函数值域 不等式解题思路： 需要分析函数的值域范围，看是否存在上下界。

详细步骤：

分析函数表达式：f(x)=xx2+1f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}f(x)=x2+1x​当 x=0x = 0x=0 时，f(0)=0f(0) = 0f(0)=0当 x≠0x \neq 0x=0 时，f(x)=1x+1xf(x) = \frac{1}{x + \frac{1}{x}}f(x)=x+x1​1​利用不等式 x+1x≥2x + \frac{1}{x} \geq 2x+x1​≥2（当 x>0x > 0x>0）或 x+1x≤−2x + \frac{1}{x} \leq -2x+x1​≤−2（当 x<0x < 0x<0）因此 ∣f(x)∣≤12|f(x)| \leq \frac{1}{2}∣f(x)∣≤21​答案：该函数在 R\mathbb{R}R 上有界，上界为 12\frac{1}{2}21​，下界为 −12-\frac{1}{2}−21​。

练习 2判断函数 f(x)=ln⁡xf(x) = \ln xf(x)=lnx 在 (0,1](0, 1](0,1] 上的有界性。

参考答案 (3 个标签)有界性 对数函数 单调性解题思路： 分析对数函数在给定区间上的取值范围。

详细步骤：

ln⁡x\ln xlnx 在 (0,+∞)(0, +\infty)(0,+∞) 上严格单调递增当 x→0+x \to 0^+x→0+ 时，ln⁡x→−∞\ln x \to -\inftylnx→−∞当 x=1x = 1x=1 时，ln⁡1=0\ln 1 = 0ln1=0因此在 (0,1](0, 1](0,1] 上，函数值范围为 (−∞,0](-\infty, 0](−∞,0]答案：该函数在 (0,1](0, 1](0,1] 上有上界（0），但无下界，因此不是有界函数。

练习 3判断函数 f(x)=sin⁡xxf(x) = \frac{\sin x}{x}f(x)=xsinx​ 在 (0,+∞)(0, +\infty)(0,+∞) 上的有界性。

参考答案 (3 个标签)有界性 三角函数 极限解题思路： 需要分析三角函数与线性函数比值的性质，判断其是否有界。

详细步骤：

首先注意到 ∣sin⁡x∣≤1|\sin x| \leq 1∣sinx∣≤1 对所有实数 x 成立因此 ∣f(x)∣=∣sin⁡xx∣=∣sin⁡x∣x≤1x|f(x)| = \left|\frac{\sin x}{x}\right| = \frac{|\sin x|}{x} \leq \frac{1}{x}∣f(x)∣=​xsinx​​=x∣sinx∣​≤x1​当 x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)x∈(0,+∞) 时，1x>0\frac{1}{x} > 0x1​>0 且随着 x 增大而减小当 x→0+x \to 0^+x→0+ 时，sin⁡xx→1\frac{\sin x}{x} \to 1xsinx​→1（重要极限）当 x→+∞x \to +\inftyx→+∞ 时，sin⁡xx→0\frac{\sin x}{x} \to 0xsinx​→0（因为分子有界，分母趋于无穷大）由于 1x\frac{1}{x}x1​ 在 (0,+∞)(0, +\infty)(0,+∞) 上单调递减且值域为 (0,+∞)(0, +\infty)(0,+∞)，但我们的函数被 1x\frac{1}{x}x1​ 所控制实际上，可以证明 ∣f(x)∣≤1|f(x)| \leq 1∣f(x)∣≤1 对所有 x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)x∈(0,+∞) 成立答案：该函数在 (0,+∞)(0, +\infty)(0,+∞) 上有界，∣f(x)∣≤1|f(x)| \leq 1∣f(x)∣≤1。

练习 4设函数 f(x)=x2−2x+3f(x) = x^2 - 2x + 3f(x)=x2−2x+3，判断该函数在区间 [0,3][0, 3][0,3] 上的有界性，并求出其上确界和下确界。

参考答案 (4 个标签)有界性 二次函数 配方法 最值解题思路： 这是一个二次函数在闭区间上的有界性问题。可以通过配方法或求导法找到函数的最值。

详细步骤：

首先对函数进行配方： f(x)=x2−2x+3=(x−1)2+2f(x) = x^2 - 2x + 3 = (x-1)^2 + 2f(x)=x2−2x+3=(x−1)2+2

从配方结果可以看出：

当 x=1x = 1x=1 时，(x−1)2=0(x-1)^2 = 0(x−1)2=0，函数取得最小值 f(1)=2f(1) = 2f(1)=2由于 (x−1)2≥0(x-1)^2 \geq 0(x−1)2≥0，所以 f(x)≥2f(x) \geq 2f(x)≥2在区间 [0,3][0, 3][0,3] 上分析端点值：

f(0)=02−2⋅0+3=3f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 + 3 = 3f(0)=02−2⋅0+3=3f(3)=32−2⋅3+3=9−6+3=6f(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 + 3 = 9 - 6 + 3 = 6f(3)=32−2⋅3+3=9−6+3=6比较函数在驻点和端点的值：

最小值：f(1)=2f(1) = 2f(1)=2最大值：f(3)=6f(3) = 6f(3)=6因此在区间 [0,3][0, 3][0,3] 上：

下确界（最小值）为 2上确界（最大值）为 6答案：该函数在 [0,3][0, 3][0,3] 上有界，下确界为 2，上确界为 6。

总结本文出现的符号符号类型读音/说明在本文中的含义f(x)f(x)f(x)数学符号f of x函数记号，表示以 xxx 为自变量的函数DDD数学符号D函数的定义域MMM数学符号M上界常数，表示函数值的上限mmm数学符号m下界常数，表示函数值的下限R\mathbb{R}R数学符号双线体 R（Real numbers）表示实数集，所有实数的集合[a,b][a, b][a,b]数学符号闭区间包含端点的区间记号(a,b)(a, b)(a,b)数学符号开区间不包含端点的区间记号(a,b](a, b](a,b]数学符号半开区间左开右闭区间记号sin⁡x\sin xsinx数学符号sine x正弦函数ln⁡x\ln xlnx数学符号natural logarithm of x自然对数函数中英对照中文术语英文术语音标说明有界性boundedness/ˈbaʊndɪdnəs/函数值被限制在某个范围内的性质有界函数bounded function/ˈbaʊndɪd ˈfʌŋkʃən/函数值有上下界限制的函数上界upper bound/ˈʌpə baʊnd/函数值的上限下界lower bound/ˈləʊə baʊnd/函数值的下限上确界supremum/suːˈpriːməm/函数在给定区间上的最小上界下确界infimum/ˈɪnfɪməm/函数在给定区间上的最大下界几何意义geometric meaning/ˌdʒiːəˈmetrɪk ˈmiːnɪŋ/数学概念在几何图形中的表现单调递增monotonically increasing/ˌmɒnəʊˈtɒnɪkli ɪnˈkriːsɪŋ/函数值随自变量增大而增大闭区间closed interval/kləʊzd ˈɪntəvəl/包含端点的区间下一章节 函数的单调性 课程路线图1高等数学之函数探秘

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